一元二次方程求根公式

一元二次方程的一般形式為：$ax^2+bx+c=0$，其中$a neq 0$。它的解也稱為“根”，如果利用因式分解難以求解，可以使用一元二次方程求根公式。

公式的推導

設一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有兩個根$x_1$和$x_2$，則由求根公式可得：

$$x_1=dfrac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a},quad x_2=dfrac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

公式的推導來自于將一元二次方程$ax^2+bx+c=0$變形為：$x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a}=0$，然后通過補全平方的方法，得到$(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$。移項后得到$(x+frac{b}{2a})^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}$。再兩邊對數，開方，得到公式。

公式的應用

一元二次方程求根公式使用廣泛，例如計算機圖形學、金融學等領域。在實際問題中，可以利用求根公式計算金融貸款的償還方式、計算物理運動的時間和距離等。

但是需要注意的是，求根公式只適用于二次方程，對于高次方程或無理式，需要使用其他方法求解。

示例

以一元二次方程$x^2+2x+1=0$為例，代入求根公式得：

$$x_1=dfrac{-2+sqrt{2^2-4times1times1}}{2times1}=-1, quad x_2=dfrac{-2-sqrt{2^2-4times1times1}}{2times1}=-1$$

此方程有兩個相等的根，即$x=-1$。

總結

一元二次方程求根公式是解決一元二次方程問題的基礎公式，應用廣泛，但需要注意求根公式只適用于二次方程。本文介紹了求根公式的推導過程和應用方法，并通過實例加深了理解。