角平分線定理介紹

角平分線定理是一個十分重要的幾何定理，它在初中數學學習中經常被提及。該定理是指將一個角分成兩個相等的角所形成的線段，稱為這個角的角平分線，這條角平分線將這個角分成兩部分，使得這兩部分內角相等。接下來，我們將對角平分線定理進行詳細解析。

角平分線定理的數學表述

假設三角形ABC的角B的角平分線交邊AC于點D。則有：

其中AB、BC是三角形ABC的兩條邊，AD、DC是角B的角平分線BD所劃分的邊AC的兩部分。

角平分線定理的證明

角平分線定理的證明有多種方式，此處我們采用相似三角形的方法進行證明。具體步驟如下：

（1）連接點B和點D構成線段BD；

（2）構造線段CE || BD，交線段AB于點E；

（3）由線段AC和角B的角平分線BD分別連接點B、D、C，分別得到三角形ABC和三角形ABD、BDC，如下圖所示。

(4)觀察三角形ABC和三角形ABD，我們可以得出：$angle ABD=angle ABC$。（因為BD是角B的角平分線，所以角ABD和角CBD是相等的）

（5）同理，觀察三角形ABC和三角形BDC，我們可以得出：$angle DCB=angle ABC$ 。（因為BD是角B的角平分線，所以角ABD和角CBD是相等的）

（6）比較三角形ABD和三角形BDC，我們可以發現它們共邊BD等長，又有$angle ABD=angle DCB$，因此它們是全等的。

（7）有全等三角形可知，$frac{AD}{AB}=frac{BC}{DC}$。

（8）由于我們有$AB+BD=BC+CD$，故$AB+AD=BC+DC$。

（9）以上兩個式子聯立可得$frac{AB}{BC}=frac{AD}{DC}$,證畢。

角平分線的應用

角平分線定理有很多應用，其中一些應用如下：

（1）求角平分線。如需求角B的角平分線，可先構造角的兩個角平分線交點O，然后連接OB和OC即可得到角B的角平分線BD（如下圖所示）。

（2）證明兩條線段平行。如圖所示，若$angle DAB=angle ACB$，則有DE || BC。

證明過程如下：

連接CD和BE，使得線段AD、BE、CD相交于點F，G，H。由幾何知識可知，角BAG和角CBH是等角，角BDE和角CED是等角，因此三角形ADE和三角形CEB是相似的。又因為$frac{DE}{EB}=frac{AD}{BC}$，故直線DE || BC。

（3）證明三點共線。如圖所示，若點D在線段BC上，且$angle ADE=angle ADC$，則有點A、D、F三點共線。

證明過程如下：

因為BD是$angle ADE$的角平分線，且$DEparallel BC$，故$frac{AB}{BC}=frac{AD}{DC}$，即$frac{AB}{AD}=frac{BC}{DC}$。所以$angle ABD=angle DCF$，又因為$angle ADE=angle ADC$，故三角形ADE和三角形FDC是相似的，故點A、D、F三點共線。

結論

角平分線定理是初中數學中十分重要的基礎定理之一，它不僅可以用來求證各種幾何問題，還可以應用于實際生活中的問題。因此，我們在學習數學的過程中，要認真掌握角平分線定理，充分發掘它的應用價值。