【考試要求】

1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式；

2.能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；

3.體會等比數列與指數函數的關系.

【知識梳理】

1.等比數列的概念

(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列.

數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數).

(2)如果三個數a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，其中G＝±.

2.等比數列的通項公式及前n項和公式

(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；

通項公式的推廣：an＝amqn－m.

(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.

3.等比數列的性質

已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.

(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.

【微點提醒】

1.若數列{an}為等比數列，則數列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比數列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.

3.在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.

【考點聚焦】

考點一　等比數列基本量的運算

【規律方法】　1.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.

2.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝

考點二　等比數列的判定與證明

【規律方法】　1.證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.

2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.

考點三　等比數列的性質及應用

【規律方法】

1.在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.

2.在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注意設而不求思想的運用.

【反思與感悟】

1.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.

2.(1)方程思想：如求等比數列中的基本量.

(2)分類討論思想：如求和時要分q＝1和q≠1兩種情況討論，判斷單調性時對a1與q分類討論.

【核心素養提升】

【數學運算】——等差(比)數列性質的應用

1.數學運算是指在明析運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.本系列數學運算主要表現為：理解數列問題，掌握數列運算法則，探究運算思路，求得運算結果.通過對數列性質的學習，發展數學運算能力，促進數學思維發展.

2.數學抽象是指能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則，能夠在特例的基礎上歸納形成簡單的數學命題，能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想.

類型1　等差數列兩個性質的應用

類型2　等比數列兩個性質的應用

類型3　等比數列前n項和Sn相關結論的活用

(1)項的個數的“奇偶”性質：等比數列{an}中，公比為q.

若共有2n項，則S偶∶S奇＝q.

(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm(q為公比).