等比數列求和公式

在數學中，等比數列是指從第二項起，每一項與前一項的比值相等的數列。如果一個等比數列的首項為a，公比為r，其第n項為an，則該數列可以表示為：

an = a * r^(n-1)

等比數列的求和公式就是將該數列的前n項加起來得到的結果，通常表示為S_n，公式如下：

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

其中，a表示等比數列的首項，r表示等比數列的公比。

推導等比數列求和公式

為了更好地理解等比數列求和公式的推導過程，我們可以從最簡單的情況開始，即n=1的情況。此時等比數列只有一項，其和為a。

接下來考慮n=2的情況。此時等比數列的和為：

S_2 = a + ar

我們可以將其化簡為：

S_2 = a * (1 + r)

這樣可以看出，S_2可以表示為a與a*r之和的形式。由于等比數列具有相同的公比，因此可以將a*r看作是a的公比r倍。

繼續考慮n=3的情況。此時等比數列的和為：

S_3 = a + ar + ar^2

將其化簡為：

S_3 = a * (1 + r + r^2)

這個式子可以看出，S_3可以表示為a與前兩項和a*(1+r)之和的形式。

通過以上推導，我們可以猜測等比數列的求和公式可能為：

S_n = a + a*r + a*r^2 + ... + a*r^(n-1)

為了驗證這個猜測，我們可以將其乘以r，并且將其與原來的等比數列相減，得到如下結果：

rS_n = a*r + a*r^2 + ... + a*r^n

S_n - rS_n = a - a*r^n

將原式和上面這個式子相減，可以得到：

S_n * (1-r) = a * (1-r^n)

將S_n從左邊移到右邊，可以得到等比數列的求和公式：

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

等比數列求和公式的應用

等比數列求和公式在數學中有著廣泛的應用。其中，最常見的是計算等比數列的總和。例如，我們可以用等比數列求和公式來計算從1開始，公比為2的等比數列的前5項和：

S_5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

使用等比數列求和公式：

S_5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31

此外，等比數列求和公式還可以用來計算復利的總和。在金融領域，復利是指利息以一定周期計算并計入本金的方式。如果一個存款賬戶年利率為5%，且每年計息一次，則該賬戶的年復利率為5%。如果將1000元存入該賬戶，則第n年后賬戶內的總金額為：

A_n = 1000 * (1 + 0.05/1)^(1*n)

其中，1表示每年計息1次，n表示持有時間（年數）。如果我們希望計算持有10年后的總金額，則可以使用等比數列求和公式得到：

A_10 = 1000 * (1 - (1+0.05/1)^10) / (1 - (1+0.05/1)) = 1628.90

因此，在金融投資中，等比數列求和公式具有重要的實際意義。

總結

等比數列求和公式是數學中的一個基礎公式。使用這個公式可以計算等比數列的總和，也可以用來計算復利的總和。掌握等比數列求和公式對于學習數學和理財都具有重要的意義。