3月14日，也是的所謂的“π日” （Pi day）。 2011年，國際數學協會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節。π不僅僅在幾何學、數論和統計學等方面有著廣泛的應用，同時也在宇宙學、熱力學、力學和電磁學等領域中大放異彩。所以今天小編就帶大家（回想起被數學支配的恐懼）一起感受圓和圓周率的魅力吧。

某不存在的網站上慶祝π日的Doodle，2010年3月14日。

01

“π”是什么

π的中文名字是圓周率，是一個數學常數，定義為圓的周長和其直徑的比值，約等于3.1415926535897......。大約在18世紀中期之后，人們開始用希臘字母π來指代它，所以有時也會拼寫為“pi”。

圓周率π的樸素定義（不樸素的定義詳見下文）

關于π的值3.1415926535897......，它是一個無理數（也就是說π是無限不循環小數），同時也是一個超越數（所謂“超越數”，是指不滿足任何整系數多項式方程的實數的數）。

“超越數”這個名字出自歐拉1748年的評論：“它們超越代數方法所及的范圍之外。”但直到1844年，超越數的存在性才被法國數學家劉維爾證明。

02

“圓”可不可以不圓？

不知道有沒有小伙伴會與小編有類似的問題，圓形可不可以不是圓的呢（這是何等握草的腦回路）？如果圓形不是圓的，那么世界又會發生什么變化呢？

要弄清這個問題，首先讓我們從定義出發，想一想“圓”到底是個什么東東？

喵星人親自示范如何讓自己變圓

生活中圓形的東西比比皆是，不過為了讓文章的敘述更為科學（B格更高），我們借用小學生數學課上對于圓的定義：“在一個平面內，一動點以一定點為中心，以一定長度為距離旋轉一周所形成的封閉曲線叫做圓。”

當然各位看官自然不是小學生，所以我們改用更為高級一點（其實并沒有）的語言描述一下這個問題。根據歐幾里德的《幾何原本》定義，圓是在同一平面內到定點的距離等于定長的點的集合。

圓的標準方程。兩個方程所代表圓的區別在于圓心的位置和半徑的大小。

由此看來，一切問題的出發點都可以歸結到兩點之間的距離。那么問題來了，距離的本質是什么？

這里我們引入范數（norm，這可是連牛津高階也查不到的翻譯）的概念。簡單而言，范數可以認為是“距離”或者“長度”概念的推廣。而在眾多范數中，p-范數與我們的生活最為接近。

范數的嚴格定義（實際上似乎也不夠嚴格，因為此處應該首先介紹半范數，不過畢竟篇幅（讀者老爺們的耐心）有限）。有興趣的同學可以參考任意一本書名中帶有“泛函分析”字樣的教科書。

p-范數，又稱為lp-范數，“l”這里指的是法國數學家亨利·勒貝格（Henri Léon Lebesgue）。這里留一道家庭作業，為什么p-范數定義中要求p大于等于1？

前面講到的p=2的情形（歐幾里德范數），實際上就對應了我們日常生活中所說的“距離”，即在笛卡爾坐標系下兩點間的距離公式。當然平面幾何中不需要n維向量，只需要二維向量（x,y）就足夠了。

二維平面上的兩點間距離公式。細心的小伙伴可能已經發現距離公式和前面提到的圓的方程非常相似。事實上，這里給出的兩個公式恰好對應前面圖中的兩個圓。

現在讓我們再次回到單位圓的問題，考慮一下在不同范數下單位圓的形狀有何不同。

當p取不同數值時，“單位圓”的形狀。考慮到所有的圓形都可以視為單位圓改變圓心位置和/或改變半徑后的產物，所以為了方便起見，這里就給出單位圓的形狀。

顯然隨著p的增大，“單位圓”也就變得越來越胖，而且經歷了“由方變圓又變方”的奇妙旅程

03

π能不能不等于3.1415926......

既然“單位圓”都可以不是圓的,那么我們不禁要問，π能不能不等于3.1415926......呢？

這個問題其實就已經有點接近數學家的惡趣味了，不過還是在文章的最后（不顧讀者的罵聲）簡要地講一講吧。

我們首先考慮極限情況，也就是讓p趨近于無限大，那么我們就得到了下面的圖形。（沒錯，就是剛才的圖又放了一遍）考慮到圓的面積S等于π乘以半徑的平方。由于下面這個圖形也屬于“單位圓”，所以它的半徑就是1，于是我們就得到了上面圖形的面積S數值上等于π！由于S這里等于4，所以這種情況下π=4？！（這都是什么鬼）

上面所講的雖然有些無厘頭（事實上是錯誤的示范），但是最終π=4的結論是沒有問題的。（思考題：正確的思路應該是怎樣的呢？）考慮到p=1的時候得到的圖形本質是跟p趨于無窮時沒有什么不同，所以p=1同樣應該對應π=4。這里推薦C. L. Adler 與 James Tanton發表在《The College Mathematics Journal》上的文章（是的，你沒有看錯，這些東西都是College Mathematics）：

Adler, C. L. , and J. Tanton . "π is the Minimum Value for Pi." The College Mathematics Journal 31.2(2000): 102-106.

這里我們用Mathematica軟件重現了一下文章的結果。

上面圖像是范數p的取值與π關系。橫坐標為范數p的取值，縱坐標是在不同范數的情況下“圓周率”的取值。圖像是依據下面展示的公式繪制的。最后給出一組具體的數值供同學們參考。

由此可見，雖然π本身似乎可以亂動，但是3.1415926......確乎有著某種特殊的意義，至少它是所有可能的π中最小的一個。

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來源：外研社科學出版

編輯：Shiny

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