運用等腰三角形 “三線合一” 的性質證明線段相等、角相等或垂直關系，不僅可以減少證全等的次數，而且還可以簡化解題過程 .

一、利用 “三線合一” 證明線段相等

1.如圖，已知在 △ABC 中，AB = AC , 點 D，E 在邊 BC 上，且 AD = AE .

求證：BD = CE .

證明：過點 A 作 AH⊥BC 于點 H .

∵ AB = AC , AH⊥BC，

∴ BH = CH，

同理可證，DH = EH，

∴ BH - DH = CH - EH ,

∴ BD = CE .

2.如圖，在等腰直角 △ABC 中，∠A = 90°，D 為 BC 邊上的中點，E，F 分別為 AB , AC 邊上的點，

且滿足 EA = CF .

求證：DE = DF .

證明：連接 AD .

∵ △ABC 為等腰直角三角形，∠BAC = 90°，D 為 BC 邊上的中點，

∴ BD = CD = AD , AD 平分 ∠BAC，

∴ ∠EAD = ∠C = 45°，

在 △ADE 和 △CDF 中，

AE = CF , ∠EAD = ∠C，AD = CD .

∴ △ADE ≌ △CDF（SAS），

∴ DE = DF .

二、利用 “三線合一” 證明角相等

3.如圖，在 △ABC 中，AB = AC , AD 是 BC 邊上的中線，BE⊥AC 于點 E .

求證：∠CBE = ∠BAD .

證明：

∵ AB = AC , AD 是 BC 邊上的中線，

∴ AD⊥BC，∠CAD = ∠BAD，

∴ ∠CAD + ∠C = 90° .

又 ∵ BE⊥AC，

∴ ∠CBE + ∠C = 90°，

∴ ∠CBE = ∠CAD .

∴ ∠CBE = ∠BAD .

4.如圖，在 △ACB 中，AC = BC , AD 為 △ABC 的高線，CE 為 △ABC 的中線 .

求證：∠DAB = ∠ACE .

證明：

∵ AC = BC , CE 為 △ABC 的中線，

∴ ∠CAB = ∠B，CE⊥AB，

∴ ∠CAB + ∠ACE = 90° .

∵ AD 為 △ABC 的高線，

∴ ∠D = 90°，

∴ ∠DAB + ∠B = 90°，

∴ ∠DAB = ∠ACE .

三、利用 “三線合一” 證明垂直關系

5.如圖，在 △ABC 中，AC = 2AB , AD 平分 ∠BAC 交 BC 于點 D，E 是 AD 上一點，且 EA = EC .

求證：EB⊥AB .

證明：過點 E 作 EF⊥AC 于點 F .

∵ EA = EC ,

∴ AF = FC = 1/2 AC .

∵ AC = 2 AB，

∴ AF = AB .

∵ AD 平分 ∠BAC，

∴ ∠BAD = ∠CAD .

在 △BAE 和 △FAE 中，

AB = AF , ∠BAD = ∠CAD，AE = AE ,

∴ △ABE ≌ △AFE（SAS），

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90°，

∴ EB⊥AB .