等腰三角形中的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線，只要知道其中“一線”，就可以說明是其它“兩線”。

運用等腰三角形“三線合一”的性質證明角相等、線段相等或垂直關系，可減少證全等的次數，簡化解題過程。

一、直接運用

例題1、如圖所示，房屋頂角 ∠BAC = 100°，過屋頂 A 的立柱 AD⊥BC，屋檐 AB = AC 。

求頂架上的 ∠B，∠C ，∠BAD 和 ∠CAD 的度數 。

例題1圖

解：

∵ 在 △ABC 中 AB = AC ， ∠BAC = 100° ， AD⊥BC

∴ ∠B = ∠C = 1/2 （180° - ∠BAC）= 40°

∴ ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 50°

例題2、如圖所示，在 △ABC 中， AB = AC ， AD = DB ，DE⊥AB 于點 E ，若 BC = 10 ，且 △BDC 的周長為 24 。

求 AE 的長 。

例題2圖

解：

∵ △BDC 的周長為 24 ，BC = 10

∴ BD + CD = 14

∵ AD = BD

∴ AC = AD + CD = BD + CD = 14

又 ∵ AB = AC

∴ AB = 14

又 ∵ AD = DB ， DE⊥AB

∴ AE = EB = 1/2 AB = 7

例題3、如圖所示，在 △ABC 中 ，AB = AC ， AD⊥BC 于點 D ，BE⊥AC 于點 E ，AD 和 BE 相交于點 H ，且 BE = AE 。

求證：AH = 2BD 。

例題3圖

證明：

∵ AD⊥BC ， BE⊥AC

∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°

∴ ∠EBC + ∠BHD = 90° ， ∠EAH + ∠AHE = 90°

∵ ∠BHD = ∠AHE

∴ ∠EBC = ∠EAH

∵ BE = AE

∴ △AHE ≌ △BCE

∴ AH = BC

又 ∵ AB = AC , AD⊥BC

∴ BC = 2BD

∴ AH = 2BD

二、添加“輔助線”運用

例題4、如圖所示，在等邊 △ABC 中 ，D 是 AC 的中點 ，E 是 BC 的延長線上的一點，且 CE = CD ，DM⊥BC 于點 M 。

求證： M 是 BE 的中點 。

例題4圖

證明：連接 BD

∵ 在等邊 △ABC 中 ， D 是 AC 的中點

∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 × 60° = 30° ，∠ACB = 60°

∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E

∵ ∠ACB = ∠CDE + ∠E

∴ ∠E = 1/2 ∠ACB = 30°

∴ ∠DBC = ∠E = 30°

∴ BD = DE ∴ △BDE 為等腰三角形

又 ∵ DM⊥BC

∴ M 是 BE 的中點

三、構造運用

例題5、如圖所示，在 △ABC 中 ， AC = 2AB ，AD 平分 ∠BAC ，E 是 AD 上一點 ，且 EA = EC 。

求證：EB⊥AB 。

例題5圖

證明：過點 E 作 EF⊥AC 于點 F

∵ EA = EC ∴ AF = 1/2 AC

又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE

又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB （SAS）

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° ， 即 BE⊥AB 。

例題6、如圖所示，已知在等腰直角 △ABC 中， AB = AC ，∠BAC = 90° ，BF 平分 ∠ABC ，CD⊥BD 交 BF 的延長線于點 D 。

求證：BF = 2CD 。

例題6圖

證明：延長 BA ， CD 交于點 E

∵ BF 平分 ∠ABC ， CD⊥BD

∴ ∠EBD = ∠CBD ，∠BDE = ∠BDC = 90°

又 ∵ BD = BD

∴ △BDC ≌ △BDE

∴ BC = BE

又 ∵ BD⊥CE ， ∴ CE = 2CD

∵ ∠BAC = 90° ， ∠BDC = 90° ， ∠AFB = ∠DFC

∴ ∠ABF = ∠DCF

又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°

∴ △ABF ≌ △ACE （ASA）

∴ BF = CE

∴ BF = 2CD