本人近期推出高考數學思想方法系列，受到很多教師、家長、學生的歡迎，私信與本人希望繼續講解數學思想方法。因此，今天我們就一起去來講講轉化與化歸的思想方法。

什么是轉化與化歸思想？

所謂轉化與化歸思想，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種數學方法。

更具體的來說就是將待解決或尚未解決的問題通過轉化或再轉化，歸結為一個已經解決的問題，或者歸結為一個已為人們所熟知的具有既定方法或程序的問題，最終得到問題解決的思想方法。

高考數學，轉化與化歸思想典型例題分析1：

數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常數．

(1) 當a2＝－1時，求λ及a3的值；

(2) 數列{an}是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

(3) 求λ的取值范圍，使得存在正整數m，當n>m時總有an<0.

解：(1) 由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.

所以當a2＝－1時，得－1＝2－λ，

故λ＝3.(2分)

從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.

(2) 數列{an}不可能為等差數列，證明如下：

由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得

a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．

若存在λ，使{an}為等差數列，

則a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，

解得λ＝3.

于是a2－a1＝1－λ＝－2，

a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.

這與{an}為等差數列矛盾．

所以，對任意λ，{an}都不可能是等差數列．( 8分)

（3）記bn＝n2＋n－λ(n＝1,2，…)，

根據題意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2＋n(n∈N*)，

這時總存在n0∈N*，滿足：

當n≥n0時，bn>0；

當n≤n0－1時，bn<0.

所以由an＋1＝bnan及a1＝1>0可知，若n0為偶數，

則an0<0，從而當n>n0時，an<0；

若n0為奇數，則an0>0，從而當n>n0時an>0.

因此“存在m∈N*，

當n>m時總有an<0”的充分必要條件是：n0為偶數．

結合轉化與化歸思想的定義和典型例題，我們可以發現轉化與化歸思想主要包含以下四個方面：

1、化繁為簡

在一些問題中，已知條件或求解結論比較繁，這時就可以通過化簡這些較繁的已知或者結論為簡單的情況，再解決問題.有時把問題中的某個部分看作一個整體，進行換元，這也是化繁為簡的轉化思想；

2、化難為易

化難為易是解決數學問題的基本思想，當我們遇到的問題是嶄新的，解決起來困難時，就要把這個問題化為我們熟悉的問題，熟悉的問題我們有解決的方法，就是容易的問題，這是化難為易的一個方面;

3、化未知為已知

當所要解決的問題和我們已經掌握的問題有關系時，把所要解決的問題化為已知問題;；

4、化大為小

在解答綜合性試題時，一個問題往往是由幾個問題組成的，整個問題的結論，是通過這一系列的小問題得出的，這種情況下，就可以把所要解決的問題轉化為幾個小問題進行解決。

高考數學，轉化與化歸思想典型例題分析2：

設正項數列{an}的前n項和為Sn，q為非零常數．已知對任意正整數n, m，當n＞m時，Sn－Sm＝qm·Sn－m總成立．

(1) 求證：數列{an}是等比數列；

(2) 若正整數n, m, k成等差數列，求證：1/Sn+1/Sk≥2/Sm.

證明：(1) 因為對任意正整數n，m，

當n＞m時，Sn－Sm＝qm·Sn－m總成立．

所以當n≥2時，Sn－Sn－1＝qn－1S1，

即an＝a1·qn－1，且a1也適合，又an＞0，

故當n≥2時，an/an-1＝q(非零常數)，即{an}是等比數列．

根據轉化與化歸的定義和理解，我們可以得到10種常見轉化與化歸的解題方法：

1、換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題；

2、等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價問題，以達到化歸的目的；

3、直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；

4、特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題的結論適合原問題；

5、數形結合法：研究原問題中數量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑；

6、構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變為易于解決的問題.

7、類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于探求；

8、坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑；

9、參數法：引進參數，使原問題轉化為熟悉的問題進行解決；

10、補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集CU A使原問題獲得解決，體現了正難則反的原則。

高考數學，轉化與化歸思想典型例題分析3：如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.

(1) 設e＝1/2，求|BC|與|AD|的比值；

(2) 當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由．

從本質上來說，像分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想都是轉化與化歸思想的具體體現。

大家一定要清楚認識到轉化與化歸思想的本質，就是把待解決或難解決的問題通過某種方式轉化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思維方式。

應用轉化與化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡可能是等價轉化，在有些問題的轉化時只要注意添加附加條件或對所得結論進行必要的驗證就能確保轉化的等價。

大家要明白一點：轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的，不等價轉化則部分地改變了原對象的實質，需對所得結論進行必要的修正。高中數學中的轉化大多要求等價化歸，等價轉化要求轉化過程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保證轉化后的結果為原題的結果。

常見的轉化有：正與反的轉化、數與形的轉化、相等與不等的轉化、整體與局部的轉化、空間與平面的轉化、常量與變量的轉化、圖象語言、文字語言與符號語言的轉化等。

高考數學，轉化與化歸思想典型例題分析4：

已知函數f(x)＝（a-1/2）x2＋lnx(a∈R)．

(1) 當a＝0時，求函數f(x)的單調遞增區間；

(2) 若x∈[1,3]，使f(x)<(x＋1)lnx成立，求實數a的取值范圍；

(3) 若函數f(x)的圖象在區間(1，＋∞)內恒在直線y＝2ax下方，求實數a的取值范圍．

解：(1) f(x)＝（a-1/2）x2＋lnx(a∈R)的定義域為(0，＋∞)．

當a＝0時，f(x)＝－x2/2＋lnx，f′(x)＝－x＋1/x＝（1-x2）/x.

由f′(x)＞0，結合定義域，解得0＜x＜1，

故得函數f(x)的單調遞增區間為(0,1)．

解題反思：

如果在解題過程中沒有注意化歸的等價性，就會犯不合實際或偷換論題、偷換概念、以偏概全等錯誤。

因此，在運用轉化與化歸思想解決問題的時候，應遵循以下五個基本原則：

1、熟悉化原則

將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決;

2、簡單化原則

將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據;

3、和諧化原則

化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律;

4、直觀化原則

將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決;

5、正難則反原則

當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。