親和數（Amicable numbers），又稱相親數、友愛數、友好數，指兩個正整數中，彼此的全部正約數之和（本身除外）與另一方相等。畢達哥拉斯曾說：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密。”

市面上你可能還可以買到由兩片分別刻有“220”和“284”的半邊心形拼成的鑰匙串或者首飾。人們購買它們，并將一半送給心愛的人，將另一半留給自己，我也做過這樣的事。相傳于古希臘，220 和 284 是友情和浪漫的象征，直到現在，仍有一些書呆子使用這個寓意。

220 的因子包括 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55 和 110。它們看起來似乎沒有什么奇特之處，但是如果將它們加起來，你就會發現它們的和恰好等于 284。這也沒什么特別的？那就再將 284 的所有因子（1、2、4、71、142）加起來，結果會是——220。將一個數的所有因子加起來會得到另外一個數，220 和 284 就是這樣親密相連，因而得到了一個名字：「親和數（amicable number）」(相親數)。

這兩個數不是唯一的親和數。費馬在 1636 年發現了一對新的親和數，它們是 17,296 和 18,416。但要使用它們，你可能得買個大一點的鑰匙串或者首飾。勒內·笛卡爾（Rene Descartes）在 1638 年又發現了一對親和數——9,363,584 和 9,437,056，要使用這兩個數字，估計只能鑲邊了。1747 年，歐拉也加入了尋找親和數的游戲中，并發現了大約 60 對新的親和數，好好地炫耀了一把。但是所有人都沒有發現第二小的親和數對——1,184 和 1,210，它們在 1866 年被當時只有 16 歲的中學生 B.尼科洛·I.帕格尼尼（B. Nicolo I. Paganini）發現。我們已無從考證他發現的動力是來自戀愛還是研究數學。

如果你想知道更多親和數，可以在以下網站(amicable.homepage.dk)上找到所有已知的親和數及其發現者的信息。

我們仍然對親和數了解甚少。長久以來，有一個猜想認為所有親和數都是 2 或 3 的倍數，但是 1988 年發現的兩個親和數——42,262,694,537,514,864,075,544,955,198,125 和 42,405,817,271,188,606,697,466,971,841,875 證明了這個猜想是錯誤的。于是猜想又變成：所有親和數都是 2、3 或 5 的倍數，但人們在 1997 年又發現了一個包含 193 個數字的反例。還有猜想斷言有無窮多對親和數，但即便現在已經找到了至少 11,994,387 對親和數，說實話，我已經不知道該相信誰了。

12,496 是親和數的變異，將它的因子加起來，會得到 14,288；再將 14,288 的因子加起來，會得到 15,472；持續這個過程，15,472 會變成 14,536，14,536 會變成 14,264，14,264 會變成 12,496，正好回到起點。不過不管怎樣，這一趟下來還真是刺激！通對因子求和，我們得到了這個由 5 個數組成的環路。這樣的數鏈被稱為「交際數（sociable number）」。還有環路長度遠遠超過 5 的交際數。它們雖沒有親和數關系緊密，但是我們對它們持開放態度。［你可能已經注意到，我們把原數本身排除在因子之外，對所謂的“真因子”（proper factor，即所有包括 1 但不包括原數本身的因子）求和。］

接下來，最神奇的數要來了：有一些罕見的數，當你把它們的因子相加，會得到原數。最小的例子是 6，6 的因子是 1、2 和 3，而 1+2+3=6；之后是 28，因為 28=1+2+4+7+14。古希臘人稱這些數為「完全數（perfect number）」。下一個完全數是 496，再接下來就是一個比較大的跨越，到了 8,128。再往后，就越來越荒唐了。下一個完全數是 33,550,336，接下來是 8,589,869,056，后腳緊跟著的是 137,438,691,328，再后面那個拖后腿的則是 2,305,843,008,139,952,128。

古希臘人發現了 8,128 之內的前 4 個完全數。33,550,336 首次確認為完全數是在 1456 年，后面的 7 個完全數都是在后來的 500 年中發現的，最大的完全數含有 77 個數字。從 1952 年開始，計算機的應用發現了另外 36 個更大的完全數。目前已知的最大完全數是在 2013 年發現的，包含 34,850,340 個數字（最后一個數字是 6）。這讓人非常震驚，它的真因子多達 115,770,321 個，加起來竟然恰好等于自身。

完全數的發現和我們已經提到過的一個問題關系非常緊密：「尋找梅森素數」。迄今為止，所有已發現的完全數都是某個梅森素數的倍數。在歐幾里得的時代，他在《幾何原本》第七卷中將完全數定義成“諸分之合數”，并且證明了所有偶完全數都有一個梅森素數因子。歐拉隨后又證明了一個（稍微有點不同）的結論：所有梅森素數都是某個完全數的因子（歐幾里得和歐拉終于成功合體，而且這不僅僅是因為他們都姓“歐”）。因此，每當發現一個梅森素數，我們就會同時免費得到一個完全數。

完全數還有缺失的方面：奇完全數。到現在為止，我們發現的全是偶完全數，但奇完全數完全有可能存在。如果它們存在，我們知道它們的因子里沒有梅森素數，它們會具有一些我們從未想到過的性質。雖然大多數人猜想不存在奇完全數，但對奇完全數的搜尋一直沒有停止。這需要大量的計算資源，所以很自然地，有一個分布式計算項目在尋找它們。如果你想加入，可以登錄 oddperfect 網站了解。

上文節選自《我們在四維空間可以做什么》, [遇見] 已獲授權.