一.比例線段

1、比例線段的相關概念

比例線段：如果選用同一長度單位量的兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項。在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.

若四條a，b，c，d滿足a/b=c/d或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項，線段的d叫做a，b，c的第四比例項。

注意：線段的單位要統一.

比例中項：如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即a/b=c/d或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項。

例1.下列四條線段中,能成比例線段的是?(　　)

A.a=1,b=1,c=2,d=3

B.a=1,b=2,c=3,d=4

C.a=2,b=2,c=3,d=3

D.a=2,b=3,c=4,d=5

例2.若a∶b=3∶4,且a+b=14,則2a-b的值是(　　)

A.4　 B.2　 C.20　 D.14

例3.如圖,矩形紙片ABCD中,AB>AD,E,F分別是AB,DC的中點,將矩形ABCD沿EF所在直線對折,若得到的兩個小矩形都和矩形ABCD相似,則AB與AD的數量關系為　　　 .

2、黃金分割:把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，即AC/BC=AB/AC或AC2=AB×BC,叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=(√5-1)/2AB≈0.618AB

注意：（1）線段的黃金分割點有兩個；

（2）黃金分割的幾何作圖.

3、比例的性質

二.平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。由l3∥l4∥l5,得.

推論：

（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

例4.如圖27-2-1-2,l1∥l2∥l3,直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F.若AB=3,DE=2,BC=6,則EF=　　　 .

三.相似三角形

1、相似三角形的概念

對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”。相似三角形對應邊的比叫做相似比（或相似系數）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。

用數學語言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等價關系：

（1）反身性：對于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）對稱性：若△ABC∽△A′B′C′，則△A′B′C′∽△ABC

（3）傳遞性：若△ABC∽△A′B′C′，并且△A′B′C′∽△A″B″C″，則△ABC∽△A″B″C″。

四.三角形相似的判定

1、三角形相似的判定方法

①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似

②平行法（A型或X型）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似.

例5.將△ABC沿AB向右平移得到△DEF,DF交BC于點O,連接CF,則圖中相似三角形的對數為?(　　)

?A.3　 B.5　 C.6　 D.7

③兩角定理：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，兩角對應相等，兩三角形相似.

歸納總結：用兩角分別相等來判定三角形相似是常用方法,應掌握好尋找等角的方法,同時要注意圖形中隱含的等角條件,如公共角、對頂角等.

例6.正方形ABCD中,點E,F,G分別在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求證:△EBF∽△FCG.

④兩邊夾角定理：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似.

特別提醒：利用該判定定理時,相等的角必須是已知兩組成比例邊的夾角,否則兩個三角形不一定相似.

例7.如圖27-2-1-5,已知:∠BAC=∠EAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.

求證:△ABC∽△AED.

⑤三邊定理：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，三邊對應成比例，兩三角形相似.

方法技巧：判斷兩個三角形的三邊是否成比例的一般步驟:

(1) 排:將三角形的邊按大小順序排列;

(2)算:分別計算三邊的比;

(3)判:由比是否相等來判斷兩個三角形的三邊是否成比例

例8.在平面直角坐標系中,△ABC各頂點的坐標分別是A(1,2),B(1,1),C(2,0),△DEF各頂點的坐標分別是D(-1,6),E(-1,4),F(-3,2),△ABC與△DEF相似嗎?請說明理由.

2、直角三角形相似的判定方法

（1）以上各種判定方法均適用

（2）定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.

方法總結：兩個直角三角形除去直角外,具備下列條件都可以判定相似:①一個銳角相等;②任意兩邊成比例.

例9.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列條件中不能判定這兩個

三角形相似的是?(　　)

A.∠A=55°,∠D=35°

B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8

C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8

D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=9

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

易錯點：誤認為兩邊成比例且有一組角相等的兩個三角形相似.

　　在判定兩個三角形相似時,若兩個三角形具備兩邊成比例且有一組角相等,要注意相等的這組角必須是夾角(直角三角形除外),不能誤認為任意一組角相等即可.

題型一、相似三角形與圓的綜合應用

例10.如圖，點D在以AB為直徑的☉O上,AD平分∠BAC,DC⊥AC,過點B作☉O的切線交AD的延長線于點E.

(1)求證:直線CD是☉O的切線;

(2)求證:CD·BE=AD·DE.

五.相似三角形的性質

1、相似三角形的對應角相等，對應邊成比例

2、相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

3、相似三角形周長的比等于相似比

相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.一般地,我們有:相似三角形對應線段的比等于相似比.具體如下表:

例11.求證:相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.

要求:如圖,(1)根據給出的△ABC及線段A&39;B&39;,∠A&39;(∠A&39;=∠A),以線段A&39;B&39;為一邊,在給出的圖形上用尺規作出△A&39;B&39;C&39;,使得△A&39;B&39;C&39;∽△ABC,不寫作法,保留作圖痕跡;(2)在已有的圖形上畫出一組對應中線,并據此寫出已知、求證和證明過程.

4、相似三角形面積的比等于相似比的平方。

證明：已知△ABC∽△A&39;B&39;C&39;,相似比為k,AD、A&39;D&39;分別為△ABC,△A&39;B&39;C&39;的高,

則有S△ABC=1/2BC·AD，S△A&39;B&39;C&39;=1/2B&39;C&39;·A&39;D&39;,

所以

易錯點：易混淆相似三角形的面積比與等底或等高三角形的面積比.

　　解題過程中,要分清相似三角形的面積比等于相似比的平方,而等底或等高的三角形的面積比等于對應底或高的比.

例12.如圖,在△ABC中,M,N分別為AC,BC的中點.若S△CMN=1,則S四邊形ABNM=　　　 .

六.相似三角形相似模型

1、平行模型

2、反平行模型

3、共邊公角模型與射影定理

4、一線三角模型與三垂直模型

七.相似多邊形

1、如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比（或相似系數）

2、相似多邊形的性質

①相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例

②相似多邊形周長的比、對應對角線的比都等于相似比

③相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比

④相似多邊形面積的比等于相似比的平方

例13.如果四邊形ABCD的對角線交于O，過O作直線OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延長線于G，求證：OG2=GE·GF.

例14.如圖,矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上,頂點D、G分別在邊AB、AC上.已知AC=6,AB=8,BC=10,設EF=x,矩形DEFG的面積為y,則y關于x的函數關系式為　　　　　 .