【分析方法導引】

當幾何問題中出現了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。接下來就應將斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等于斜邊的一半，并可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關系。若斜邊上的中點是要證明的結論，則應轉而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關系來完成分析。

當幾何問題中出現了線段之間的倍半關系，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應將斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等于斜邊的一半，和相應的角之間的等量關系和倍半關系，問題就轉化成要證明問題中出現的倍半關系中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現了兩個角之間的倍半關系，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是將斜邊上的中線添上，然后可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等于底角的兩倍的性質來完成分析。

例1 如圖3-187，已知：△ABC中，BD、CE是高，F、G分別是BC、DE的中點。求證：FG⊥ED。

圖3-187

分析：由條件BD是高，故△BCD是直角三角形，于是條件中出現的F是BC的中點，就成為是直角三角形斜邊的中點，從而就可以應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質進行證明。由于現在圖形中出現了直角三角形而沒有斜邊上的中線，故應將這條斜邊上的中線添上，即聯結DF，得DF=1/2BC。另一方面CE也是高，用同樣的方法聯結EF后，又可得EF=1/2BC（如圖3-188），則EF=DF。但這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，而已知G是DE的中點，所以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質就可以證明FG⊥ED。

圖3-188

本題的分析也可以直接從∠BDC=∠BEC=90°開始，這樣應用圓周角的基本圖形的性質可得B、C、D、E四點共圓，且BC就是這個圓的直徑，BC的中點F就是這個圓的圓心。由于E、D都在這個圓上，所以DE就是這個圓的一條弦，而已知G是DE的中點，出現了圓中弦的中點，所以可直接應用垂徑定理證明FG⊥ED。

例2 如圖3-189，已知：梯形ABCD中，∠A+∠B=90°，E、F分別是上、下底DC、AB的中點。求證：EF=1/2（AB-CD）。

圖3-189

分析：本題的條件中出現了梯形，所以可將梯形的問題轉化到三角形中的問題來進行討論。由于結論中出現的AB-CD是梯形兩條底的差，所以轉化的方法可以是作腰的平行線。

若考慮過頂點D作腰的平行線，則過D作DG∥CB交AB于G（如圖3-190）。于是由DC∥AB，就可得四邊形DGBC是平行四邊形，DC=GB，所以AG就等于AB-GB=AB-CD，這樣問題就成為要證EF=1/2AG。同時，由DG∥CB，又可得∠B=∠DGA，那么條件中的∠A+∠B=90°，就成為∠A+∠DGA=90°，也就推得∠ADG=90°。而現在要證明的EF=1/2AG是線段之間的倍半關系，且其中的倍線段AG現在是Rt△AGD的斜邊，從而就可以應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。由于現在圖形中是有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以應將斜邊上的中線添上，也就是取AG的中點H，聯結DH（如圖3-191），這樣即可得DH=1/2AG，問題也就成為要證EF=DH。由于H、F分別是AG、AB的中點，所以HF=AF-AH=1/2AB-1/2AG=1/2（AB-AG）=1/2GB=1/2CD=DE，且HF∥DE，就可得四邊形DHFE也是平行四邊形，EF=DH也就可以證明。

圖3-190

圖3-191

若考慮過E點作腰的平行線，則過E分別作CB、DA的平行線交AB于H、G（如圖3-192），即可得∠A=∠EGH，∠B=∠EHG，所以∠A+∠B=∠EGH+∠EHG=90°，也就可得∠GEH=90°。而由DC∥AB，又可得四邊形AGED和BHEC都是平行四邊形，AG=DE、BH=EC。由于條件中還給出F、E分別是AB、DC的中點，所以GF=AF-AG=BF-DE=BF-EC=BF-BH=FH，這樣又出現了F是Rt△GHE的斜邊的中點，所以可應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質進行證明，也就可得EF=1/2GH。而GH=AB-（AG+BH）=AB-（DE+EC）=AB-CD，所以分析可以完成。

圖3-192

本題的平行線還可考慮過其它的頂點或中點F作，對這些可能情況，請讀者自行討論。

由于本題條件中給出∠A+∠B=90°，因此以這兩個角為內角的三角形是直角三角形。由于這個直角三角形尚不完整，所以應先將直角三角形添全，即延長AD、BC相交于G（如圖3-193），得∠AGB=90°，于是條件中出現的F、E分別是AB、DC的中點，也就分別成為Rt△GAB和Rt△GDC的斜邊的中點，從而就可以應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質進行證明。由于已知圖形中現在是有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以就應將斜邊上的中線添上，也就是分別是聯結GE、GF（如圖3-193），即可得GE=ED=1/2DC，GF=FA=1/2AB，從而就有GF-GE=1/2AB-1/2CD。將這一關系和結論比較可知問題應證EF=GF-GE，也就是要證G、E、F在一直線上。由于應用直角三角形斜邊上中線的基本圖形的性質還可得∠EDG=∠EGD，∠FAG=∠FGA。而條件中有DC∥AB，這兩條平行線可以看作是被AC所截，所以∠EDG=∠FAG，即得∠EGD=∠FGA，GE和GF重合，也就是G、E、F共線，分析完成。

圖3-193

例3 如圖3-194，已知：⊙O和⊙O′外切于C，外公切線AB與⊙O、⊙O'分別相切于A、B，AB的延長線與OO′的延長線相交于S，過S作DE⊥AB交CB和AC的延長線于D、E。求證:SD=SE。

圖3-194

分析：本題條件中給出⊙O和⊙O外切于C，OO′是連心線，所以OO′必定經過C點，又因為這是一個兩圓外切也就是圓的組合圖形問題，所以可轉化到一個圓中的問題來進行討論，轉化的方法是添過切點的公切線，于是過C作兩圓的內公切線交AB于F(如圖3-195)。這樣對每一個圓來說都是切線的問題，從而可應用弦切角的基本圖形的性質進行證明，于是可分別證得FA=FC=FB，∠FAC=∠FCA，∠FBC=∠FCB，進一步就可得∠ACB=90°，而A、C、E成一直線，所以又有∠BCE=90°，而要證的結論是SD=SE，這樣就出現了S是直角三角形CDE斜邊DE的中點，從而就可以應用直角三角形的斜邊上的中線這個基本圖形的性質進行證明(如圖3-196)，也就是要證SD=SE，就應證SD和SE都和SC相等。

圖3-195

圖3-196

如果先考慮證SD=SC。由于已知AB與⊙O′相切于B，所以就可應用切線的性質進行證明，于是連結O'B(如圖3-197)后，可得∠SBO′(弦切角)=90°，O'B⊥AB，而條件中又給出SD⊥AB，所以就得到O′B∥SD，這樣就出現了O′B是三角形內一條邊SD的平行線，所以就可應用平行線型相似三角形的性質進行證明，也就是可得△O'BC∽△SDC，而O′B和O′C是同一個圓，亦即⊙O′的半徑，當然相等，△O′BC是等腰三角形，所以△SDC必定也是等腰三角形，也就是可證明SD=SC。根據同樣的道理，連結OA(如圖3-197)后可得△OAC∽△SEC，從而也可以進一步證得SE=SC。所以結論就得到證明。

圖3-197

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