本文主要是介紹柯西中值定理推導x→a時0/0型的洛必達法則的思路。

柯西中值定理：

如果函數f(x)及F(x)滿足

(1)在閉區間[a，b]上連續；

(2)在開區間(a，b)內可導；

(3)對任一x∈（a，b)，F&39;(x)≠0，

那么在(a，b)內至少有一點 ε( a＜ε＜b)，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]＝f&39;(ε)/F&39;(ε)

成立。

x→a時，0/0型的洛必達法則：

設

(1)當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨于0；

(2)在點a的某去心鄰域內f&39;(x)及F&39;(x)都存在且F&39;(x)≠0；

(3)x→a時 f&39;(x)/F&39;(x)的極限存在(或為無窮大)，

那么

柯西中值定理推導上述型式的洛必達法則思路如下：

由于 f(x)/F(x)在x→a時的極限與f(x)和F(x)在x=a處的值無關。我們可以假定f(a)=F(a)=0，再結合上述洛必法則里的條件(1)和條件(2)可知，f(x)和F(x)在a的某一鄰域內是連續的。設x是這一鄰域內的一點，那么在以x和a為端點的區間上f(x)和F(x)滿足柯西中值定理的3個條件，因此有

[f(x)-f(a)]/[F(x)-F(a)]＝f&39;(ε)/F&39;(ε)

即f(x)/F(x)=f&39;(ε)/F&39;(ε) (式1） 成立，

其中ε介于x與a之間。當x→a時對式(1)等號兩端求極限，由于x→a時，ε→a，再根據上述洛必達法則里的條件(3)便得到了想要證明的結論。

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