求y=arctan[x+1/(x-2)]的導數計算

主要內容：

本文通過復合函數求導、反函數求導等方法，介紹計算y=arctan[x+1/(x-2)]導數的主要過程。

主要步驟：

※.直接求導法

解：對于反正切函數y=arctanx，其導數為y=1/(1+x^2)，

本題是正切函數的復合函數，其求導過程如下：

dy/dx=[x+1/(x-2)]&39;/{1+[x+1/(x-2)]^2}

=[1-1/(x-2)^2]*(x-2)^2/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2},

※.反函數求導法

反函數的求導公式為：[f^(-1)(x)]&39;=1/f&39;(y)。

對于本題，函數y=arctan[x+1/(x-2)]的反函數為：

tany=x+1/(x-2)，

此時有：y&39;=1/(tan&39;y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

由tany=1x+1/(x-2)兩邊平方有：

(tany)^2=[x+1/(x-2)]^2，即：

(tany)^2=[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2,

進一步代入導數中并化簡可有：

y&39;=1/{1+[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2}*[x+1/(x-2)]&39;

=(x-2)^2/{[x(x-2)+1]^2+(x-2)^2]}*[1-1/(x-2)^2]

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}。