離散偏差

離散偏差反應了一組給定數據樣本的分散程度。在金融學領域中極為重要。舉例來說，如果你要評估一個投資組合的收益風險，比較好的辦法是：觀察這個投資組合的歷史收益率。

如果收益率始終圍繞在一個恒定值，假設7%，那么我們會對未來的期望收益率抱有足夠的信心，認為該投資組合存在很小的收益風險。而如果收益率沒有規律，正負之間變化無常，并且極為分散，那么它的收益風險會使評估者擔憂不已。

為了后續演示方便，我們先來用Python生成一組隨機樣本：

樣本集

極差與平均絕對偏差

全距(Range)，又稱極差，定義為數據樣本中最大值與最小值的差值，它對數據樣本中的異常值是非常敏感的，我們用上面生成的樣本集X為例，使用Python包Numpy中的peak to peak方法（ptp）實現如下：

平均絕對偏差（MAD），是“觀測值”離“平均值”的平均距離。公式為：

平均絕對偏差公式

方差和標準差

方差的定義是：離均差平方和的平均水平，即每一個樣本點離開樣本均值的距離平方和。用公式表現為：

方差公式

標準差則是方差的平方根。我們同樣用Numpy的方差（var）和標準差功能（std）進行計算：

可能有同學看到這里會有疑問：方差和標準差都是衡量樣本集的離散程度，那么他們又有什么區別呢？其實區別主要有兩點：

第一點是量綱問題，方差由于是平方計算，得出的結果量綱與數據集并不一致。舉例來說：你可以說這組同學身高數據標準差的偏差值是10cm，而用方差描述就是偏差值為100c㎡。因此方差容易造成理解上的困難，而標準差不會；第二點是方差的可微分性，方差由于是基于平方的運算，數學上具備可微分性，在一些特定的優化算法上，用方差比標準差或平均絕對偏差更為合適。

可以通過切比雪夫不等式進一步了解標準差。它講了這么一個事情：任意一個數據集中，位于其平均數m個標準差范圍內的比例，總是至少為1-1/㎡（其中m為大于1的任意正數）。

舉例來說，對于m=2，m=3和m=5依次有如下結果：所有數據中，至少有3/4的數據位于平均數2個標準差范圍內；至少有8/9的數據位于平均數3個標準差范圍內；至少有24/25的數據位于平均數5個標準差范圍內。我們這里以 m = 1.25 來舉例：

切比雪夫不等式的邊界似乎相當寬限,但它很有用，因為它適用于所有的數據集和分布。

半方差與半標準差

雖然方差和標準差告訴我們數據離“中心”的偏差程度，但它們并不能區分出上偏差還是下偏差。 而一些特殊情況下（如資產回報率）,通常我們更關心下偏差。通過半方差和半標準差實現衡量低于均值的觀測值的偏差程度。其中，半方差的公式為：

半標準差同樣是半方差的平分根。由于Python沒有提供內建的函數，我們用自定義函數實現：

以上就是本期全部內容。本篇為“數據夕拾”量化學堂系列專講，喜歡請關注吧?