復合函數求導

什么是復合函數？

復合函數是由兩個函數組合而成的函數，形式如下：

f(g(x)) = f（u）= f（g（x））

其中，u=g(x)，g(x)是內函數，f(u)是外函數，f(g(x))是復合函數。

什么是復合函數求導？

對于復合函數f(g(x))，我們要求其導數。

根據鏈式法則，我們可以得到如下公式：

$$largefrac{d}{dx}f(g(x)) = frac{df}{du}cdotfrac{du}{dx}$$

其中，$frac{df}{du}$是外函數$f(u)$對$u=g(x)$的導數；$frac{du}{dx}$是內函數$g(x)$對$x$的導數。

如何求復合函數的導數？

拿兩個實數函數作為例子，假設$f(x)$和$g(x)$都可以求導。我們來推導復合函數的導數：

$$largefrac{d}{dx}f(g(x)) = f’(g(x))cdot g’(x)$$

其中，外函數$f$的導數$f’$先對內函數$g(x)$求導，再乘上內函數$g(x)$對$x$的導數$g’(x)$。

求導實例

現在我們來舉一個實例來計算復合函數的導數。

求$f(x)=x^2+1$和$g(x)=sqrt{x}$的復合函數$F(x)=f(g(x))$求導

根據鏈式法則可得：

$F’(x) = f’(g(x))cdot g’(x)$

由于$f(x)$的導數$f’(x)=2x$，因此$f’(g(x))=2sqrt{x}$；

由于$g(x)$的導數$g’(x)=frac{1}{2sqrt{x}}$，因此：$g’(x) = frac{1}{2sqrt{x}}$；

綜上所述，$F’(x) = f’(g(x))cdot g’(x) = 2sqrt{x}cdotfrac{1}{2sqrt{x}}=1$

因此，$F(x) = x^2+1$和$g(x)=sqrt{x}$的復合函數$F(x)=f(g(x))$的導數為$1$。

復合函數求導的注意事項

在使用鏈式法則計算復合函數的導數時，有幾個需要注意的問題：

注意外函數的定義域和內函數的值域，保持定義合法；

要先求外函數的導數，后求內函數的導數；

對于分段函數，先考慮各段的定義域和值域是否合法，再求導。

總結

復合函數求導是微積分中常用的計算方法。在實際應用中，我們要了解復合函數的定義、鏈式法則的表達式和求導方法，才能正確計算復合函數的導數。同時，也需要注意定義域和值域的合法性。