第四章 幾何圖形初步

第三節 角

【學習目標】

1．掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進行角度的互換；

2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；

3. 掌握角的和、差、倍、分關系，并會進行有關計算；

4. 掌握互為余角和互為補角的概念及性質，會用余角、補角及性質進行有關計算；

5．了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題．

【要點梳理】

知識點一、角的概念

1．角的定義：

（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．

（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．

要點詮釋：

（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．

（2）平角與周角：射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．

2. 角的畫法

（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角；

（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角；

（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角．

3. 角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示

知識點二、角的比較與運算

1. 角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．

1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．

要點詮釋：

在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得數大于等于60時要向高一位進位．

2. 角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．

方法1：度量比較法． 方法2：疊合比較法

3. 角的和、差關系

要點詮釋：

(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．

(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．

4. 角平分線

從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．

要點詮釋：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．

知識點三、余角和補角

1. 定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．

類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．

2．性質：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．

要點詮釋：

(1)互余互補指的是兩個角的數量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們的位置無關．

(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個角α的補角可以表示為(180°-α) ．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°．

知識點四、方位角

在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角．例如，射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

要點詮釋：

（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；

（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；

（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向。