怎樣求曲線x2和直線x=0、x=10、x軸圍成的面積？

1 近似、暴力的方法：先分割、后求和

就是把不規則的圖形分割為n個小的規則(梯形或矩形）的圖形，計算n個小的規則的圖形的面積，累加起來去近似整體的面積。

如果是這樣的一塊田地，測量人員要去測量的話，他們會怎樣做呢？一般會通過一個三角形去近似。會量一個底為10，高為70左右的一個三角形，面積大概是350左右。

如果將區間[0,10]分成10個小區間，每個小區間的長度dx為1，在每個小區間[ti,tj]取點ξi（等于ti+0.5），每個dy=(ti+0.5)2，則將整個面積劃分為10個長方形：

小區間求和的Σ的形式就是：

=0.52+1.52+2.52+3.52+4.52+5.52+6.52+7.52+8.52+9.52=332.5

2 極限或無窮的方法

引用極限或無窮的概念，如果上述的dx→0（n→∞），ξi取每個小區間的右端點：

有

當n→∞，上述＝1000/3

3 定積分的方法

也可以用定積分的形式表示：

dx表示自變量在區間[0,10]的微分，x2dx表示整個面積的微分，符號∫是英文“sum"首字母“s”的拉長，表示面積微分的累加。

下面我們就一般情形來討論定積分的近似計算問題。

若函數f(x)在區間[a,b]上連續，則下式定積分存在。

我們將區間[a,b]分成n個長度相等的小區間

每個小區間的長度均為dx=(b-a)/n，每個小區間任取ξi，則有

（上限無窮分割或定積分的方法不一定能求出極限值。）

4 由定積分變上限積分的面積函數

上面的定積分所計算出的都是一個特定的值（注意“定”這個字），不是一般的函數關系表達式。我們需要研究一般規律的函數關系表達式（不包含符號∫，這樣就可以不是每次都用極限的方法而用代入的方法可以直接求出）。能不能找到一個關于x的面積函數，也就是曲線x2和直線x取任意值、x軸圍成的面積函數，給出x的值，即可求出面積。

這樣的面積函數的積分表達式可以表示為：

面積函數F(x)如何用沒有∫符號的表達式表示？可以考慮的思路是，F(x)肯定與曲線函數x2有相關關系。

我們可以考慮x2曲線以外的一般情形y=f(t)，面積函數為A(x)，如下圖：

關鍵在于找出F(x)或A(x)的一般表達式，這個表達式是積分表達式的替代，從積分表達式可以看出，與面積微分f(t)dx或f(x)dx肯定有關系，是什么關系呢？

5 由變上限積分的面積函數到一般表達式的面積函數

當積分的上限為x，在此基礎上，做自變量x和面積函數的微分，自變量x增加一個極小值h（dt）：

上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(t) , 也就是:

表達式h·f(x)就是面積函數F(x)的微分，函數的微分/自變量的微分稱為微商，也稱為導函數或導數，用F‘(x)表示。導數的形式在一定情形比微分的形式更簡潔，微分也可以由導數迂回求得，如上式可有如下推導：

由此可見，曲線函數f(x)的反導數就是面積函數F(x)，這就是微積分的基本定理。

上述黑色部分的面積可以表示為：F(x)-F(a)，這就是微積分的基本公式。

函數的導數是一個函數的因變量相對于自變量變化的快慢，即“變化率”。可以用來求函數的最值、曲線在某一點的切線的斜率、變速運動的瞬時速度。

導數中引入了無窮小與極限的概念，但近似的表達式中卻可以去掉無窮小與極限的符號，讓表達式變得更簡潔，如：

類似的

再回到下式：

x2的反導數為1/3x3，所以上述所需求出的面積為：F(10)-F(0)＝1000/3。

當然如果想求曲線x2和直線x=5、x=10、x軸圍成的面積：F(10)-F(5)=1000/3－125/3=875/3=291.6。

6 從變速直線運動中路程函數與速度函數再看導數與積分的關系

設物體沿一直線做變速運動，在時間t時，其路程函數為s(t)，速度函數為v(t)，則在時間段[T1,T2]內，由定積分定義可知，物體經過的路程為

另一方面，S也可用路程函數s(t)的增量ΔS=S(T2)-S(T1)來表示，從而有關系式

由于S‘(t)=v(t)，即路程函數是速度函數v(t)的反導數，定積分由無限求和變成了求差。

如v(t)=t(8-t)

由(t(8-t))'=8-2t＝0，求得當t=4m時，物體的最大速度是16m/s。速度v∈[0,16]，時間[0,8]，路程S粗略估計應該小于16*8=128m。

S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t2-1/3t3

上式符號∫表示不定積分，表達式∫(t(8-t)dt表示求函數t(8-t)的反導數或不定積分。

S=4t2-1/3t3=4*82-1/3*83=85.33m

reference:

「微積分基本定理」圖解普林斯頓微積分讀本14

3blue1brown.com：微積分的本質，積分，導數的基本定理

3blue1brown.com：積分與微積分基本定理，積分是什么？

微積分基本定理（一）

之微積分基本定理（二）

單維彰：微積分入門

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